Productos Notables

es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente.

Factor común

Representación gráfica de la regla de la regla de factor común

El resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

c(a+b) = ca + cb

Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es:

c(a+b)

(el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca) y (cb).

Ejemplo:

3x(4x+6y)=12x²+18xy

Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio

Ilustración gráfica del binomio al cuadrado

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir:

(a+b)²= a²+2ab+b²

un trinomio de la forma:

a²+2ab+b²

se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:

(a-b)²= a²-2ab+b²

En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo.

Ejemplo:

(2x-3y)²=(2x)²+ 2(2x)(-3y)+(-3y)²

simplificando:

(2x-3y)²=4x²-12xy+9y²

Producto de dos binomios con un término común

Producto de dos binomios con un término común

Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.

(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab

Ejemplo:

(3x+4)(3x-7)= (3x)(3x)+(3x)(-7)+(3x)(4)+(4)(-7)

Agrupando términos:

(3x+4)(3x-7)= 9x²-21x+12x-28

Luego:

(3x+4)(3x-7)= 9x²-9x-28

Producto de dos binomios conjugados

 

Producto de binomios conjugados

Dos binomios conjugados son aquellos que sólo se diferencien en el signo de la operación. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados.

(a+b)(a-b)=a²-b²

Ejemplo:

(3x+5y)(3x-5y)=

(3x)(3x)+(3x)(-5y)+(5y)(3x)+(5y)(-5y)

Agrupando términos semejantes:

(3x+5y)(3x-5y)=3x²-25y²

A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

Polinomio al cuadrado

 

Elevando un trinomio al cuadrado de forma gráfica

Para elevar un polinomio con cualquier cantidad de términos, se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.

(a+b+c)=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc)

(a+b+c+d)=a²+b²+c²+d²+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)

Ejemplo:

(3x+2y-5z)²=(3x+2y-5z)(3x+2y-5z)

Multiplcando los monomios:

(3x+2y-5z)²=3x·3x+3x·2y+3x(-5z)

+2y·3x+2y·2y+2y(-5z)

+(-5z)·3x+(-5z)·2y+(-5z)·(-5z)

Agrupando términos semejantes:

(3x+2y-5z)²=9x²+4y²+25z²+2(6xy-15xz-10yz)

Luego:

(3x+2y-5z)²=9x²+4y²+25z²+12xy-30xz-20yz

Binomio al cubo o cubo de un binomio

Descomposición volumétrica del binomio al cubo

Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

Identidades de Cauchy:

(a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)

Ejemplo:

(x+2y)³=x³+3(x)²(2y)+3(x)(2y)²+(2y)³

Agrupando términos:

(x+2y)³=x³+6x²y+12xy²+8y³

Cuando la operación del binomio es resta, el resultado es: el cubo del primer término, menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.

(a-b)=a³-3a²b+3ab²-b³

Identidades de Cauchy:

(a-b)=a³-b³-3ab(a-b)