TÉRMINO ALGEBRAICO Y SUS PARTES

Se llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos + o -. Así, por ejemplo xy2 es un término algebraico.

 En todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.

 

Signo

Los términos que van precedidos del signo + se llaman términos positivos, en tanto los términos que van precedidos del signo – se llaman términos negativos. Pero, el signo + se acostumbra omitir delante de los términos positivos; así pues, cuando un término no va precedido de ningún signo se sobreentiende de que es positivo.

 

Coeficiente

Se llama coeficiente al número o letra que se le coloca delante de una cantidad para multiplicarla. El coeficiente indica el número de veces que dicha cantidad debe tomarse como sumando. En el caso de que una cantidad no vaya precedida de un coeficiente numérico se sobreentiende que el coeficiente es la unidad.

 

Parte literal

La parte literal está formada por las letras que haya en el término.

Grado

El grado de un término con respecto a una letra es el exponente de dicha letra. Así, por ejemplo el término x3y2z, es de tercer grado con respecto a x, de segundo grado con respecto a y  y de primer grado con respecto a x.

 

2.5 CLASIFICACIÓN DE LOS TÉRMINOS ALGEBRAICOS; SEMEJANTES Ó NO SEMEJANTES.

Los términos que tienen las mismas variables con los mismos exponentes se llaman términos semejantes.

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Se llama reducción de términos semejantes a la operación que consiste en reemplazar varios términos semejantes por uno solo. En la reducción de términos semejantes pueden presentarse los tres casos siguientes:

 

a)     Para reducir términos semejantes que tengan igual signo se suman los coeficientes anteponiendo a la suma el mismo signo que tienen todos los términos y a continuación se escribe la parte literal.

Ejemplo

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Productos Notables

Productos notables:

es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente.

Factor común

Representación gráfica de la regla de la regla de factor común

El resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

c(a+b) = ca + cb

Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es:

c(a+b)

(el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca) y (cb).

Ejemplo:

3x(4x+6y)=12x²+18xy

Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio

Ilustración gráfica del binomio al cuadrado

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir:

(a+b)²= a²+2ab+b²

un trinomio de la forma:

a²+2ab+b²

se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:

(a-b)²= a²-2ab+b²

En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo.

Ejemplo:

(2x-3y)²=(2x)²+ 2(2x)(-3y)+(-3y)²

simplificando:

(2x-3y)²=4x²-12xy+9y²

Producto de dos binomios con un término común

Producto de dos binomios con un término común

Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.

(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab

Ejemplo:

(3x+4)(3x-7)= (3x)(3x)+(3x)(-7)+(3x)(4)+(4)(-7)

Agrupando términos:

(3x+4)(3x-7)= 9x²-21x+12x-28

Luego:

(3x+4)(3x-7)= 9x²-9x-28

Producto de dos binomios conjugados

 
Producto de binomios conjugados

Dos binomios conjugados son aquellos que sólo se diferencien en el signo de la operación. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados.

(a+b)(a-b)=a²-b²

Ejemplo:

(3x+5y)(3x-5y)=

(3x)(3x)+(3x)(-5y)+(5y)(3x)+(5y)(-5y)

Agrupando términos semejantes:

(3x+5y)(3x-5y)=3x²-25y²

A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

Polinomio al cuadrado

 
Elevando un trinomio al cuadrado de forma gráfica

Para elevar un polinomio con cualquier cantidad de términos, se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.

(a+b+c)=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc)

(a+b+c+d)=a²+b²+c²+d²+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)

Ejemplo:

(3x+2y-5z)²=(3x+2y-5z)(3x+2y-5z)

Multiplcando los monomios:

(3x+2y-5z)²=3x·3x+3x·2y+3x(-5z)

+2y·3x+2y·2y+2y(-5z)

+(-5z)·3x+(-5z)·2y+(-5z)·(-5z)

Agrupando términos semejantes:

(3x+2y-5z)²=9x²+4y²+25z²+2(6xy-15xz-10yz)

Luego:

(3x+2y-5z)²=9x²+4y²+25z²+12xy-30xz-20yz

Binomio al cubo o cubo de un binomio

Descomposición volumétrica del binomio al cubo

Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

Identidades de Cauchy:

(a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)

Ejemplo:

(x+2y)³=x³+3(x)²(2y)+3(x)(2y)²+(2y)³

Agrupando términos:

(x+2y)³=x³+6x²y+12xy²+8y³

Cuando la operación del binomio es resta, el resultado es: el cubo del primer término, menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.

(a-b)=a³-3a²b+3ab²-b³

Identidades de Cauchy:

(a-b)=a³-b³-3ab(a-b)

 

Bloque 1 Matemáticas 9

Competencias que se favorecen: Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente

Aprendizajes esperados
• Explica la diferencia entre eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes.

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Patrones y ecuaciones
• Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

Eje: Forma, espacio y medida
Figuras y cuerpos
• Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades.
• Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.

Eje: Manejo de la informaciónProporcionalidad y funciones
• Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad.
• Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas.
Nociones de probabilidad
• Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes.
Análisis y representación de datos
• Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación.

Ejercicios de preparación para prueba ENLACE en pdf

Aqui puedes encontrar el archivo de preparación para la prueba ENLACE en formato PDF, donde lo podras descargar a tu computadora o menoria, e imprimir.

Matemáticas enlace221052012_0000

Ejercicios preparación para prueba Enlace tercero de secundaria

Ejercicios de preparación para el examen enlace de matemáticas 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Actividades para entregar el día 16 de Mayo

Para que puedan resolver los problemas del cuadernillo de actividades de las páginas 14 y 15 observen estos ejemplos, mismos que les serán útiles más adelante.

Ejemplos:

1.-Obtención del valor de un lado, conocidos un ángulo y un lado

Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura que forma un ángulo de 60° con respecto al piso.

Procedimiento:

a) Trazar el triángulo rectángulo anotando los datos e indicando, con una letra, el lado que se desea calcular.

 

b) Seleccionar una razón trigonométrica que relacione al ángulo y lado conocidos con el lado que se desea calcular.

 

c) Despejar algebraicamente la letra que representa el lado que se desea calcular.

 

d) Sustituir las literales por sus valores numéricos de acuerdo con los datos.

 

e) Obtener el valor natural del ángulo por medio de las tablas trigonométricas o de la calculadora y efectuar las operaciones.

c = 5 m

f) Dar solución al problema.

c = longitud de la escalera

Por lo tanto, la escalera mide 5 m.

2. Obtención del valor de un ángulo agudo, conocidos dos lados del triángulo

Obtener el ángulo que forma un poste de 7.5 m de alto con un cable tirante que va, desde la punta del primero hasta el piso, y que tiene un largo de 13.75 m

Ahora se tienen únicamente los valores de dos lados, con los cuales se debe obtener el valor del ángulo.

Procedimiento:

a) Trazar un triángulo rectángulo anotando en el los datos.

b) Seleccionar la función trigonométrica que relacione a los lados conocidos con el ángulo.

c) Sustituir las literales por sus valores numéricos.

d) Efectuar la división indicada.

cos = 0.5454

e) Obtener, en las tablas de funciones trigonométricas o con la calculadora, el valor del ángulo.

f) Dar respuesta al problema.

El ángulo formado por el poste y el cable tirante es de 56° 57′

  • Para resolver algunos problemas, donde se aplica la trigonometría, es conveniente conocer lo que es un ángulo de elevación y un ángulo de depresión.

Ángulo de elevación

El ángulo O, formado por la horizontal OM y la visual ON situadas en el mismo plano vertical es el ángulo de elevación del punto N, que es, a su vez, el punto más elevado del objeto.

Ángulo de depresión

El ángulo B, formado por la horizontal BD y la visual BA situadas en el mismo plano vertical, es el ángulo de depresión del punto A.

Nótese que: 

a) <β y <α  son congruentes por ser ángulos alternos internos entre paralelas.

b) <β y <γ son complementarios porque sus medidas suman 90°.

c) Triángulo ABC es congruente con el triángulo ABD.

En el siguiente cuadro se resumen los dos procedimientos para la resolución de triángulos rectángulos

 

Actividad para entregar el día 16 de Mayo de 2012, realizada en el cuaderno.

 

1.        Una escalera de mano está apoyada contra la pared de un edificio. Del pie de la escalera al edificio hay 12 m. La escalera forma con el suelo un ángulo de 70°. Halla la longitud de la escalera y la altura respecto del suelo del extremo superior de la citada escalera.

 2.        Un árbol proyecta una sombra de 18 m sobre el plano horizontal en que está situado, cuando los rayos del sol inciden con un ángulo de 20°. Halla la altura del árbol.

 3.        Una cometa está unida al suelo por un hilo de 100 m, que forma con un terreno llano un ángulo de 55°. Suponiendo que el hilo está tirante, halla a qué altura, respecto del suelo, está la cometa.

 4.        El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en un ángulo de depresión de 12°. Un buzo es bajado 40 metros hasta el fondo del mar. ¿Cuánto necesita avanzar el buzo por el fondo para encontrar los restos del naufragio?

  5.        Un árbol de hoja perenne está sostenido por un alambre que se extiende desde 1.5 pies debajo de la parte superior del árbol hasta una estaca en el suelo. El alambre mide 24 pies de largo y forma un ángulo de 58° con el suelo. ¿Qué altura tiene el árbol?

 

 6.        En los ejercicios 1 a 3, asocia la razón trigonométrica con su definición.

1. tan R                                        2. cos R                                           3. sen R

 7.        Usa un transportador para dibujar un triángulo con medidas de ángulo de 40°, 50° y 90°. Mide los lados con una regla. Luego, usa tus medidas para aproximar el seno, el coseno y la tangente de 40°.

 8.        Usa un transportador para dibujar un triángulo con ángulos de 40°, 50° y 90° que sea más grande que el del ejercicio 4. Mide los lados y luego usa tus medidas para aproximar el seno, el coseno y la tangente de 40°. ¿Obtienes los mismos resultados que en el ejercicio 4?

 9.        En los ejercicios 6 a 11, usa la siguiente figura Δ XYZ para hallar la razón trigonométrica.

 

  6. sen X               7. cos X

  8. tan X               9. sen Y

10. cos Y             11. tan Y

 

10.     En los ejercicios 12 a 17, usa Δ DEF para hallar la razón trigonométrica.

12. sen D        13. cos D

14. tan D        15. sen E

16. cos E        17. tan E

 

 11.     En los ejercicios 18 a 21, resuelve el ángulo y el lado no rotulado de cada triángulo. Luego, escribe seis razones trigonométricas que puedan formarse con cada triángulo.

12.     En los ejercicios 22 y 23, dibuja un triángulo rectángulo, Δ ABC, que tenga las razones trigonométricas dadas. Rotula cada lado con su longitud.

13.    Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los triángulos rectángulos indicados a continuación

        a) 5, 4 y 3 cm       b) 8, 10 y 6 cm          c) 5, 12 y 13 cm            d) 16, 34 y 30 cm

14.    En un triángulo rectángulo ABC la hipotenusa a = 14 y el seno B= 0,75. Resuelve el triángulo.

15.    En un triángulo rectángulo ABC el cateto b = 14 y el seno C= 0,68. Resuelve el triángulo.

16.    En un triángulo rectángulo ABC la hipotenusa a = 84 y la tangente B= 1,25. Resuelve el triángulo.

17.    En un triángulo rectángulo ABC el cateto c = 64 y la tangente B= 1,25. Resuelve el triángulo.

18.    En un triángulo rectángulo ABC el cateto b = 64 y el coseno C = 0,32. Resuelve el triángulo.

19.    Calcula las restantes razones trigonométricas de los ángulos α , b , m y r sabiendo que

a)       sen α = 4/7 b) cos b = 1/3 c) tg m = 7/6 d) tg r = 1/2

20.    Halla las razones trigonométricas de los ángulos de 30° y de 60°. Ayúdate de los triángulos equiláteros.

21.    Halla las razones trigonométricas del ángulo de 45°. Ayúdate de un cuadrado.

22.    Calcula la longitud de la sombra de un abeto de 24 m de altura cuando la inclinación de los rayos del sol sea 23°.

23.     Los extremos de las ramas de un compás distan 6 cm y cada rama mide 14 cm. Halla el ángulo que forman las dos ramas.

Razones trigonométricas

La trigonometría, en sus inicios, se concreta al estudio de los triángulos. Por varios siglos se empleo en topografía, navegación y astronomía.

Para establecer las razones trigonométricas, en cualquier triángulo rectángulo, es necesario conocer sus elementos. Por ejemplo:

Los ángulos de A y B son agudos. El ángulo C es recto.

Puede notarse que los lados de los ángulos agudos son la hipotenusa y un cateto y los del ángulo recto son catetos.

Considerado uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo e identificada previamente la hipotenusa, es necesario diferenciar los catetos.

Cateto adyacente es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia.

Cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de éste.

Obsérvense los siguientes triángulos:

Nótese que los lados del triángulo se representan con las dos letras mayúsculas que corresponden a sus puntos extremos, colocando sobre ellas una línea horizontal, o bien, con una sola letra minúscula.

Las razones trigonométricas se establecen entre dos lados de un triángulo rectángulo en relación con uno de sus ángulos agudos.

En el siguiente cuadro se observan las seis razones trigonométricas que se pueden establecer, para cualesquiera de los ángulos agudos, en un triángulo rectángulo.

Seno y cosecante
En un triángulo rectángulo, el seno y la cosecante de cualesquiera de sus ángulos agudos (x), se expresan con las razones siguientes:

Coseno y secante
En un triángulo rectángulo, las razones del coseno y la secante de cualesquiera de sus ángulos agudos (x) son:
 
Tangente y cotangente
La tangente y cotangente de cualesquiera de los ángulos agudos (x) de un triángulo se establece con las siguientes razones:
 
 
En el cuadro se resumen las seis funciones trigonométricas para cualquiera de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo
 

Actividades para el día 02 de Mayo de 2012 “Teorema de Pitágoras”

Realizar estos ejercicios del Teorema de Pitágoras

Para estos diez ejercicios  recuerda que a y b son los catetos, c es la hipotenusa.

1)      a =?  si b = 5 c = 8

2)      b = ?  si a =3 c = 10

3)      c = ?  si a = 10 b = 15

4)      a = ?  si b = 7 c = 9

5)      b = ?  si a = 6 c = 10

6)       c = ?  si a = 13 b = 10

7)      a = ?  si b =2 c = 10

8)      a= x, b=x+2, c=10. Hallar x

9)      a=4, b= x-2 , c=x. Hallar x

10)   a= x+1 b=x-1, c=5. Hallar x

11)   En un triángulo rectángulo, sus catetos miden 3 cm y 5 cm. ¿Cuánto mide su hipotenusa?

12)   Calcula en cada caso la hipotenusa de cada triángulo rectángulo sabiendo que los catetos miden:

a)      3 cm y 2 cm.

b)      5 cm y 12 cm.

c)       5 cm y 6 cm

13)   En un triángulo rectángulo, su hipotenusa mide 11 cm y uno de los catetos, 7 cm. Calcula el valor del otro cateto.

14)   Completa los datos de los siguientes triángulos rectángulos, en los que a es la hipotenusa y b y c son los catetos:

a)      a= ?,  b = 3, c = 4.                                                  d)   a = 6, b = 3, c=? 

b)      a= ?,  b = 4, c = 7                                                   e)   a = 6, c = 5, b=?  

c)       a = 5, b = 2, c=?                                                   f)      c = 4, a = 16, b=? 

15)   Intenta averiguar el valor de cada cateto de un triángulo rectángulo sabiendo que entre los dos suman 21 cm y que su hipotenusa mide 15 cm.

16)   Calcula la altura de un triángulo equilátero de 10 cm de lado.

 

 

 

17)   Calcular los lados que faltan en cada caso:

18)   Calcular el área de un triángulo de 6 cm de lado

19)   Calcular el área de un triángulo isósceles de 12 m de base y cuyos lados iguales miden 10 m cada uno.

20)   Calcular la diagonal de un cuadrado de lado a.

21)   Calcular el lado de un cuadrado cuya diagonal mide 15 cm.

22)   Calcular el lado de un rectángulo cuya diagonal mide 10 cm y el otro lado mide 6 cm.

 23)   Calcula el valor de la diagonal más larga:

 

Realiza los siguientes ejercicios.

El Teorema de Pitágoras nos sirve para encontrar un lado de un triángulo rectángulo sabiendo los otros dos. Dados los siguientes lados de un triángulo rectángulo, calcula el que nos falta. Usa una calculadora para el cálculo aproximado.

 1) a = 5 cm b = 4 cm c = 
2) a = 13 m b =  c = 5 m
3) a =  b = 3’5 dm c = 22 cm

_______________________________________

 Aplica el Teorema de Pitágoras  al ejemplo siguiente. Una escalera de incendios se apoya en la fachada. Evidentemente se coloca a una distancia normalmente fijada. Vamos a considerar que  se pone a 10 metros. Como sabes, se puede alargar. Calcula la medida que debe alargarse para alcanzar un edificio de 20 m, 25 m, 30 m, 35m, 40 m, 45m,  50 m. etc.  Completa los resultados en la tabla.

 
escalera 22.36       41,23    
altura 20 25 30 35 40 45 50
 Observa que el doble de edificio no implica el doble de escalera Las escaleras o grúas modernas tienen un pequeño ordenador que tiene estos datos introducidos. Cuando se estima donde debe llegar, se le da el dato, y la escalera se alarga sola al número correspondiente. Como puedes calcular,  la diferencia con la altura del edificio no es mucha.Puedes pensar en elaborar una tabla ahora para el caso de que la distancia a la base del edificio sea de 20 m. 
escalera      36,05        
altura 20 25 30 35 40 45 50

 

 Otra aplicación importante. Buscar  caminos mínimos o distancias rectas.

Cuando queremos apuntalar con mayor seguridad una antena de 20m, pensamos en colocar 4 cables de amarre (blancos inclinados) aguantándolos en la base a 5m del centro de la torre. ¿Qué medida de cable debemos comprar?  Explica tus cálculos lo mejor posible.

 

Nota:

Los ejercicios deberán ser realizados en el cuaderno, y entregados en la clase.

Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Teorema de PitágorasEn todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

 Pitágoras de Samos

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b , y la medida de la hipotenusa es c , se establece que:

la ecuación se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:

 

 

 

 

Nota:

Corolario: Proposición que no necesita prueba particular, sino que se deduce fácilmente de lo demostrado antes.